Согласованная нагрузка: теоретические основы практической пользы

Воскресенье , 4, Июль 2010 Комментарии к записи Согласованная нагрузка: теоретические основы практической пользы отключены

Что такое согласованная нагрузка

В учебной литературе согласование с нагрузкой рассматривается чаще всего применительно к волновым свойствам длинной линии при передаче высокочастотного сигнала. Но в [1] всё же рассмотрены энергетические соотношения при передаче энергии от активного двухполюсника к пассивному.

Активный двухполюсник — это любой источник электрической энергии, а пассивный — её потребитель, который чаще всего именуют нагрузкой. Возьмём в качестве активного двухполюсника источник э.д.с. с известным выходным сопротивлением (см. схему на рис.1) и посчитаем, при каком же сопротивлении нагрузки мощность, передаваемая в нагрузку, будет максимальной.

Схема подключения нагрузки к источнику э.д.с.

Рис.1. Схема подключения нагрузки к источнику э.д.с.

Согласно закону Ома для полной электрической цепи ток в нагрузке равен:

(1)

где:

— напряжение холостого хода активного двухполюсника;
— выходное сопротивление активного двухполюсника;
— сопротивление нагрузки.

Напряжение холостого хода активного двухполюсника измеряется высокоомным вольтметром на зажимах активного двухполюсника при отключенной нагрузке.

Напряжение на нагрузке:

(2)

Мощность в нагрузке:

(3)

Поскольку обе величины и измеряются в омах, выразим для упрощения дальнейших математических выкладок величину через коэффициент пропорциональности k, показывающий, во сколько раз сопротивление нагрузки отличается от выходного сопротивления активного двухполюсника :

(4)

Тогда после подстановки выражение для мощности в нагрузке (3) примет вид:

(5)

Поскольку левый множитель в последнем выражении — величина постоянная, то максимум мощности в нагрузке совпадёт с максимумом правого множителя, то есть функции:

(6)

Максимальное значение функция f(k) примет при таком k, при котором будет равна нулю её производная по k. Производная частного двух функций определена как:

Следовательно:

(7)

Очевидно, что производная принимает нулевое значение лишь при k=1, то есть при выполнении равенства . Максимум мощности в нагрузке при k=1 хорошо виден на графике, приведенном на рис.2:

Зависимость мощности в нагрузке от отношения сопротивления нагрузки к выходному сопротивлению активного двухполюсника.

Рис.2. Зависимость мощности в нагрузке от отношения сопротивления нагрузки к выходному сопротивлению активного двухполюсника.

Таким образом максимальная мощность в нагрузку передаётся при равенстве выходного сопротивления активного двухполюсника и сопротивления нагрузки. В этом случае говорят, что сопротивление нагрузки согласовано с выходным сопротивлением источника электрической энергии или с выходным сопротивлением источника сигнала.

Согласующий трансформатор

В звукотехнике, телефонии, радиотехнике и средствах телекоммуникаций для согласования с нагрузкой источников сигнала переменного тока применяют согласующий трансформатор, который часто используется также для гальванической развязки источника сигнала и нагрузки. Принцип действия трансформатора как такового детально описан в учебной литературе, покажем лишь как выбрать соотношение количества витков первичной и вторичной обмоток согласующего трансформатора для получения всё той же максимальной мощности в нагрузке.

Подключение нагрузки к источнику переменной э.д.с. через согласующий трансформатор.

Рис.3. Подключение нагрузки к источнику переменной э.д.с. через согласующий трансформатор.

В качестве активного двухполюсника возьмём источник переменной э.д.с. с известным выходным сопротивлением, а нагрузку к нему, сопротивление которой тоже задано, подключим через согласующий трансформатор (см. схему на рис.3), потерями и прочими конструктивными ограничениями в котором пренебрегаем. В этом случае получаемая нагрузкой мощность равна мощности, подводимой активным двухполюсником.

Сила тока в обмотках идеального трансформатора определяется соотношением количества витков первичной и вторичной обмоток:

(8)

где:

— ток во вторичной обмотке трансформатора;
— ток в первичной обмотке трансформатора;
— количество витков первичной обмотки трансформатора;
— количество витков вторичной обмотки трансформатора.

Соотношение величин напряжения на выводах обмоток идеального трансформатора определяется обратной величиной:

(9)

где:

— напряжение на выводах вторичной обмотки;
— напряжение на выводах первичной обмотки.

Если в показанной на рис.3 схеме отключить нагрузку, то есть при отсутствии тока во вторичной обмотке идеального трансформатора напряжение на выводах вторичной обмотки будет определяться напряжением холостого хода активного двухполюсника и соотношением количества витков обмоток трансформатора:

(10)

При замкнутой накоротко вторичной обмотке, когда напряжение на выводах первичной обмотки также будет равно нулю, ток во вторичной обмотке определяется значением напряжения холостого хода активного двухполюсника, его выходным сопротивлением и обратным соотношением количества витков обмоток трансформатора:

(11)

В соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе (теорема Гельмгольца и Тевенена, см. в [1]), часть приведенной на рис.3 схемы, состоящую из активного двухполюсника A и идеального согласующего трансформатора, можно заменить эквивалентным активным двухполюсником с напряжением холостого хода, определяемым выражением (10), и выходным сопротивлением:

(12)

На рис.4 приведена эквивалентная схема такой замены:

Схема замещения активного двухполюсника с трансформатором эквивалентным активным двухполюсником.

Рис.4. Схема замещения активного двухполюсника с трансформатором эквивалентным активным двухполюсником.

Таким образом показанная на рис.3 схема с согласующим трансформатором приводится к первоначальной схеме, показанной на рис.1, но с иными значениями выходного сопротивления и э.д.с. холостого хода. Ясно, что максимум мощности в нагрузку при этом, как это было показано выше, будет передаваться при , то есть при следующем значении соотношения количества витков вторичной и первичной обмоток согласующего трансформатора:

(13)

Согласующий трансформатор служит для трансформации выходного сопротивления активного двухполюсника с целью получения максимальной мощности в нагрузке, сопротивление которой задано изначально. Соответственно при этом максимальными будут также напряжение на нагрузке и ток в ней.

©Задорожный Сергей Михайлович, 2010г., г.Киев

Литература:

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А. и др., Основы теории цепей. Учебник для вузов. — М., «Энергия», 1975г.